درسنامه آموزشی فیزیک (1) کلاس دهم رشته ریاضی و تجربی

ماهواره‌ای به جرم 220kg، با تندی ثابت 2/5km/s دور زمین می‌چرخد. انرژی جنبشی ماهواره را برحسب ژول و مگاژول حساب کنید.

$m=220kg$ 

$v=2/5km/s=(2/5km/s)(\frac{1000m}{1km})=2/5\times {{10}^{3}}m/s$ 

$K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}(220kg){{(2/5\times {{10}^{3}}m/s)}^{2}}=69\times {{10}^{7}}J=903MJ$ 

جرم خودرویی به همراه راننده‌اش 840kg است (شکل زیر). تندی خودرو در دو نقطه از مسیرش روی شکل زیر داده شده است. تغییرات انرژی جنبشی خودرو $(\Delta K={{K}_{2}}-{{K}_{1}})$ را بین این دو نقطه حساب کنید.

$m=8/40\times {{10}^{2}}kg$ 

${{v}_{1}}=18/0m/s$ 

${{v}_{2}}=25/0m/s$ 

${{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=-(8/40\times {{10}^{2}}kg){{(18/0m/s)}^{2}}=136\times {{10}^{3}}J=136kJ$

${{K}_{2}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}=\frac{1}{2}(8/40\times {{10}^{2}}kg){{(25/0m/s)}^{2}}=262\times {{10}^{3}}J=262kJ$

$\Delta K={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=262kJ-136kJ=126kJ$ 

انرژی جنبشی هر یک از اجسام زیر را با هم مقایسه کنید و مقدار آن را به ترتیب از کمترین تا بیشترین بنویسید.

انرژی جنبشی کمیتی نرده‌ای است و فقط به تندی و جرم جسم بستگی دارد.
برای حل این پرسش ابتدا انرژی جنبشی اجسام را محاسبه کرده و برحسب ${{K}_{1}}$ می‌نویسیم.

${{K}_{1}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ 

${{K}_{2}}=\frac{1}{2}m{{(2v)}^{2}}=\frac{1}{2}m\times (4{{v}^{2}})=4(\frac{1}{2}m{{v}^{2}})=4{{K}_{1}}$ 

${{K}_{3}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}={{K}_{1}}$ 

${{K}_{4}}=\frac{1}{2}(2m){{v}^{2}}=2(\frac{1}{2}m{{v}^{2}})=2{{K}_{1}}$ 

${{K}_{5}}=\frac{1}{2}(2m){{(2v)}^{2}}=\frac{1}{2}\times 2m\times (4{{v}^{2}})=8(\frac{1}{2}m{{v}^{2}})=8{{K}_{1}}$ 

بنابراین می‌توان نوشت:

$({{K}_{1}}={{K}_{3}})<{{K}_{4}}<{{K}_{2}}<{{K}_{5}}$

ورزشکاری وزنه‌ای به جرم 65kg را به طور یکنواخت، 45cm بالای سر خود می‌برد (شکل زیر).

کاری که این ورزشکار روی وزنه انجام داده است را محاسبه کنید. اندازهٔ شتاب گرانش زمین را g=9/8N/kg بگیرید.

$m=65kg$
$d=45cm=(45cm)\times (\frac{1m}{100cm})=45\times {{10}^{-2}}m$
$g=9/8N/kg$ 

چون حرکت وزنه یکنواخت است بنابراین نیروی $F$ با نیروی وزن برابر است و داریم:

$F=mg$ 
$F=65kg\times 9/8N/kg=6/4\times {{10}^{2}}N$ 
$W=Fd=6/4\times {{10}^{2}}N\times 45/0\times {{10}^{-2}}m=2/9\times {{10}^{2}}J$ 

تمرین 3-3 را دوباره ببینید. کار انجام شده توسط ورزشکار را روی وزنه برای حالتی حساب کنید که ورزشکار با وارد کردن همان نیروی $\overrightarrow{F}$، وزنه را به آرامی پایین می‌آورد (شکل زیر).

توضیح دهید که در این دو حالت، چه تفاوتی بین مقادیر به دست آمده برای کار انجام شده توسط ورزشکار وجود دارد.

چون گفته به آرامی پایین میآورد $F=mg$

$F=6/4\times {{10}^{2}}N$
$d=45cm=745m$
$g=180\Rightarrow \cos 180=-1$
$W=(F\cos \theta )d=-6/4\times {{10}^{2}}N\times 0/45m=-2/9\times {{10}^{2}}J$

در این حالت کار انجام شده توسط ورزشکار منفی است.

شخصی جسمی را یک بار با طنابی بلند (شکل الف) و بار دیگر با طنابی کوتاه‌تر (شکل ب) روی سطحی هموار می‌کشد.

اگر جابه جایی و کاری که این شخص در هر دو بار روی جعبه انجام می‌دهد یکسان باشد، توضیح دهید در کدام حالت، شخص نیروی بزرگ‌تری وارد کرده است. اصطکاک را در هر دو حالت، ناچیز فرض کنید.
در هر دو حالت نیروهای وارد بر جسم را رسم می‌کنیم.

${{W}_{1}}=({{F}_{1}}\cos {{\theta }_{1}})d$
${{W}_{2}}=({{F}_{2}}\cos {{\theta }_{2}})1$
${{W}_{1}}={{W}_{2}}\Rightarrow {{F}_{1}}\cos {{\theta }_{1}}d={{F}_{2}}\cos {{\theta }_{2}}d$ 
$\cos {{\theta }_{2}}<\cos {{\theta }_{1}}\Rightarrow {{F}_{2}}>{{F}_{1}}$ چون ${{F}_{1}}\cos {{\theta }_{1}}={{F}_{2}}\cos {{\theta }_{2}}$ 

کشاورزی توسط تراکتور، سورتمه‌‌ای پر از هیزم را در راستای یک زمین هموار به اندازهٔ 200m جابه‌جا می‌کند (شکل زیر).

وزن کل سورتمه و بار آن $mg = 1500N$ است. تراکتور نیروی ثابت ${F_1} = 5500N$ را در زاویهٔ $\theta =45{}^\circ $ بالای افق یه سورتمه وارد می‌کند. نیروی اصطحکاک جنبشی ${f_{k}} =3500N$ است که بر خلاف جهت حرکت به سورتمه وارد می‌شود. کار کل انجام ده روی سورتمه را محاسبه کنید.

$d=200m$
$mg=15000N$
${{F}_{1}}=5500N$
$\theta =45{}^\circ $
${{f}_{k}}=3500N$

${{W}_{1}}=({{F}_{1}}\cos \theta )d=(5500N\times \frac{\sqrt{2}}{2})(200m)=778\times {{10}^{3}}J$

${{W}_{fk}}=({{f}_{k}}\cos \theta )d=[3500N\times (-1)](200m)=-700\times {{10}^{3}}J$

چون نیروی وزن و نیروی عمودی سطح بر جابه جایی عمود هستند پس کار آنها صفر است بنابراین

${{W}_{t}}={{W}_{1}}+{{W}_{{{f}_{k}}}}=778\times {{10}^{3}}J-700\times {{10}^{3}}J=+78\times {{10}^{3}}J$

شکل زیر شخصی را نشان می‌دهد که با وارد کردن نیروی ثابت 150N، جعبه‌ای به جرم 10kg را از حال سکون در امتداد قائم جابه‌جا می‌کند.

$F=150N$
$m=10kg$ 
$g=9/8$   ,  $d=1/5m$ 

الف) کار انجام شده توسط شخص و کار انجام شده توسط نیروی وزن را روی جعبه در ارتفاع 1/5m به طور جداگانه حساب کنید.

${{W}_{mg}}=mg\times d\cos 180=10N\times 9/8N/kg\times 1/5m\times (-1)=-147J$
${{W}_{F}}=F\times d\times \cos 0=150N\times 1/5m\times (1)=22/5J$

ب) کار کل انجام شده روی جعبه تا ارتفاع 1/5m چقدر است؟

${{W}_{t}}={{W}_{mg}}+{{W}_{F}}=-147J+22/5J=78J$

پ) با استفاده از قضیهٔ کار انرژی جنبشی، تندی نهایی جعبه را در ارتفاع 1/5m حساب کنید.

${{W}_{t}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}\Rightarrow 78J=\frac{1}{2}\times 10\times v_{2}^{2}\Rightarrow v_{2}^{2}=15/6\Rightarrow {{v}_{2}}=3/9m/s$

 جرم یک خودروی الکتریکی به همراه راننده‌اش 840 kg است. وقتی این خودرو از موقعیت A به موقعیت B می‌رود، کار کُل انجام شده روی خودرو 73500 J است. اگر تندی خودرو در موقعیت A برابر 54/0km/h باشد، تندی آن در موقعیت B چند متر بر ثانیه است؟

${{v}_{B}}=?$ ,  ${{v}_{A}}=54/0km/h$ ,   ${{W}_{t}}=7/35\times {{10}^{4}}J$  ,  $m=8/40\times {{10}^{2}}kg$ 

حل: ابتدا تندی در موقعیت $A$ را بر حسب $m/s$ می‌نویسیم:

${{v}_{A}}=(54/0km/h)(\frac{1}{3600}\frac{h}{s})(\frac{1000m}{1km})=15/0m/s$

${{W}_{t}}={{K}_{B}}-{{K}_{A}}$

$7/35\times {{10}^{4}}J=\frac{1}{2}(8/40\times {{10}^{2}}kg)v_{b}^{2}-\frac{1}{2}(8/40\times {{10}^{2}}kg){{(15/0m/s)}^{2}}\Rightarrow v_{B}^{2}=400\Rightarrow {{v}_{B}}=20m/s$
 

دو قایق بادبانی مخصوص حرکت روی سطوح یخ‌زده، دارای جرم‌های m و 2m روی دریاچهٔ افقی و بدون اصطکاکی قرار دارند و نیروی ثابت و یکسان $\overrightarrow{F}$ با وزیدن باد به هر دو وارد می‌شود (شکل زیر). هر دو قایق از حال سکون شروع به حرکت می‌کنند و از خط پایان به فاصلهٔ d می‌گذرند. انرژی جنبشی و تندی قایق‌ها را درست پس از عبور از خط پایان، با هم مقایسه کنید. 

قضیه کار - انرژی جنبشی را برای هر دو قایق می‌نویسیم

${{W}_{{{t}_{1}}}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}={{K}_{2}}$ قایق اول (سبک)

${{W}_{{{t}_{1}}}}=K_{2}^{'}-K_{1}^{'}=K_{2}^{'}$ قایق دوم (سنگین)

چون ${{W}_{{{t}_{1}}}}={{W}_{{{t}_{2}}}}$ بنابراین انرژی جنبشی هر دو قایق درست پس از عبور از خط پایان با هم برابر است امّا تندی آنها یکی نیست.

${{K}_{2}}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}(2m)v_{2}^{2}\Rightarrow v_{1}^{2}=2v_{2}^{2}\Rightarrow {{v}_{1}}=\sqrt{2}{{v}_{2}}$

برای آنکه تندی خودرویی از حال سکون به $v$ برسد، باید کار کل $W_{1t}$ روی آن انجام شود. همچنین برای آنکه تندی خودرو از $v$ به $v2$ برسد، باید کار کل $W_{2t}$ روی آن انجام شود (شکل زیر). نسبت $W_{1t}/W_{2t}$ چقدر است؟

${{W}_{2t}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}m{{(2v)}^{2}}-\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{3}{2}m{{v}^{2}}\Rightarrow {{W}_{1t}}/{{W}_{2t}}=\frac{\frac{1}{2}m{{v}^{2}}}{\frac{3}{2}m{{v}^{2}}}=\frac{1}{3}$

برای جسمی به جرم m که رو به بالا حرکت می‌کند و از سطح زمین دور می‌شود نشان دهید کار نیروی وزن، همچنان از رابطهٔ 3-6 به دست می‌آید. فرض کنید که جسم به اندازهٔ کافی نزدیک به سطح زمین بماند به .گونه‌ای که وزن آن ثابت باشد.
جسمی را در نظر می‌گیریم که به طرف بالا پرتاب شده است نیروی وزن و نیروی مقاومت هوا در یک جهت هستند.

${{W}_{W}}=(mg\cos \theta )d=(mg\cos 180{}^\circ )d=-mg=-mgd({{h}_{2}}-{{h}_{1}})$

بنابراین داریم:

${{W}_{W}}=-(mg{{h}_{2}}-mg{{h}_{1}})=-({{U}_{2}}-{{U}_{1}})=-\Delta U$

انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل گرانشی (نسبت به زمین) یک هواپیمای مسافربری به جرم $7/50\times {{10}^{4}}kg$ که با تندی $864km/h$ در ارتفاع $9/60\times {{10}^{3}}m$ حرکت می‌کند چقدر است؟ مقدار این انرژی‌ها را با هم مقایسه کنید.

${{h}_{2}}=50m$  ${{h}_{1}}=90m$   $m=150kg$

${{U}_{1}}=mg{{h}_{1}}=150kg\times 9/8N/kg\times 50m=1/3\times {{10}^{5}}J$

${{U}_{2}}=mg{{h}_{3}}=150kg\times 9/8N/kg\times 50m=7/3\times {{10}^{4}}J$

ب)

${{W}_{W}}=-\Delta U=-({{U}_{2}}-{{U}_{1}})={{U}_{1}}-{{U}_{2}}=1/3\times {{10}^{5}}J-7/3\times {{10}^{4}}J\Rightarrow {{W}_{W}}=+5/9\times {{10}^{4}}J$

چون علامت آن مثبت است یعنی نیروی وزن کار انجام داده است.

جرم موتور سواری با موتورش 150kg است. این موتورسوار، پرشی مطابق شکل زیر انجام می‌دهد.

الف) انرژی پتانسیل گرانشی موتور سوار را روی هر یک از تپه‌ها حساب کنید $.(g=9/8m/{{s}^{2}})$
ب) کار نیروی وزن موتورسوار را در این جابه جایی به دست آورید.

$m=7/50\times {{10}^{4}}kg$

$v=864km/h=(864km/h)(\frac{1000m}{1km})(\frac{1}{3600}\frac{h}{s})=2/40\times {{10}^{2}}m/s$ 

$h=9/60\times {{10}^{3}}m$ 

$K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\Rightarrow K=\frac{1}{2}\times 7/50\times {{10}^{4}}kg\times {{(240m/s)}^{2}}=2/16\times {{10}^{9}}J$ 

$U=mgh=7/50\times {{10}^{4}}kg\times 9/81N/kg\times 9/60\times {{10}^{3}}m=706\times {{10}^{7}}J=7/06\times {{10}^{9}}J$ 

$\frac{U}{K}=\frac{7/06\times {{10}^{9}}J}{2/16\times {{10}^{9}}J}\simeq 3\Rightarrow U\approx 3K$

شکل زیر، چهار وضعیت متفاوت را برای حرکت جسمی نشان می‌دهد. در وضعیت الف، جسم از حال سکون سقوط می‌کند و در سه وضعیت دیگر جسم از حال سکون روی مسیری بدون اصطکاک و رو به پایین حرکت می‌کند. تندی جسم را در نقطهٔ B برای هر چهار وضعیت با هم مقایسه کنید.

چون ارتفاع جسم در هر چهار حالت نسبت به نقطه B هم برابر است بنابراین نسبت به این نقطه انرژی پتانسیل گرانشی یکسانی دارد. چون اصطکاک نداریم بنابراین کل این انرژی پتانسیل گرانشی زمانی که جسم به نقاط B می‌رسد، بدون توجه به شکل مسیر به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود و بنابراین سرعت در تمام حالت‌ها برابر است.

در مثال 3-11، مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را در ارتفاع h₁ بگیرید و بر این اساس تندی توپ را هنگام رسیدن به دهانهٔ سبد حساب کنید.
در این حالت ${{h}_{1}}=0$ است و ${{h}_{2}}=1/0m$ بنابراین داریم:

${{K}_{1}}+{{U}_{1}}={{K}_{2}}+{{U}_{2}}$ 

$\frac{1}{2}m{{(7m/s)}^{2}}+0=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+m\times (9/8N/kg)\times (1/0m)\frac{49}{2}=\frac{1}{2}v_{2}^{2}+9/8\Rightarrow {{v}_{2}}=5/4\_\_$ 

توپی مطابق شکل از سطح زمین با تندی ${{v}_{1}}=40m/s$  به طرف صخره ای پرتاپ می‌شود.

اگر توپ با تندی ${{v}_{2}}=25m/s$ به بالای صخره برخورد کند، ارتفاع $h_2$ را به دست آورید. مقاومت هوا را هنگام حرکت توپ نادیده بگیرید.

${{K}_{1}}+{{U}_{1}}={{K}_{2}}+{{U}_{2}}$

${{v}_{1}}=40m/s$ 

${{v}_{2}}=25m/s$ 

$\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+mg{{h}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}+mg{{h}_{2}}$ 

$\frac{1}{2}{{(40m/s)}^{2}}+0=\frac{1}{2}{{(25m/s)}^{2}}+9/8N/kg\times {{h}_{2}}\Rightarrow {{h}_{2}}=60/5m$ 
 

شخصی توپ در حال حرکتی را با دست خود می‌گیرد (شکل زیر). پس از توقف توپ، انرژی جنبشی آن کجا رفته است؟
انرژی جنبشی توپ در اثر برخورد با مولکول‌های هوا و سرانجام برخورد با دست، باعث بالا رفتن انرژی درونی محیط اطراف و دست می‌شود.

توپی به جرم $0/45kg$ با تندی  ${{v}_{1}}=8/0m/s$  از نقطهٔ $A$ می‌گذرد (شکل زیر).

نیروی مقاومت هوا و نیروی اصطکاک در سطح تماس توپ با زمین، 20 درصد انرژی جنبشی توپ را تا رسیدن به نقطهٔ $B$ تلف می‌کنند. تندی توپ را در این نقطه به دست آورید.

می‌توان گفت که 80 درصد انرژی جنبشی اولیه توپ به انرژی جنبشی آن در نقطه $B$ تبدیل می‌شود.

${{v}_{1}}=8/0m/s$    $m=0/45kg$

$\frac{80}{100}{{K}_{A}}={{K}_{B}}\Rightarrow \frac{80}{100}\times \frac{1}{2}m\times {{(8/0m/s)}^{2}}=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}\Rightarrow {{v}_{B}}=7/1m/s$

هر یک از دو موتور جت یک هواپیمای مسافربری، پیشرانه‌ای(نیروی جلوبرهواپیما) برابر $2/0\times {{10}^{5}}N$ ایجاد می‌کند. اگر هواپیما در هر دقیقه 15km در امتداد این نیرو حرکت کند، توان متوسط هر یک از موتورهای هواپیما چند اسب بخار است؟

موتور: Engine

$P = \frac{{{W_E}}}{{\Delta t}} = \frac{{Fd\cos \theta }}{{\Delta t}} = \frac{{2/0 \times {{10}^5}N \times 15 \times {{10}^3}m}}{{60s}} = 50MW$

$P=50\times {{10}^{6}}W\times (\frac{1hp}{746W})=6/7\times {{10}^{4}}hp$

آب ذخیره شده در پشت سد یک نیروگاه برق آبی، از مسیری مطابق شکل روی پره‌های توربینی می‌ریزد و آن را می‌چرخاند. با چرخش توربین، مولد می‌چرخد و انرژی الکتریکی تولید می‌شود (شکل زیر).

اگر 85 درصد کار نیروی گرانش به انرژی الکتریکی تبدیل شود، در هر ثانیه چند متر مکعب آب باید روی توربین بریزد تا توان الکتریکی خروجی مولد نیروگاه به 200MW برسد؟ جرم هر متر مکعب آب را 1000kg در نظر بگیرید.

$h=90/0m$ 

$P=200MW=200\times {{10}^{6}}W$ 

$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{mgh}{1s}\Rightarrow 200\times {{10}^{6}}=\frac{0/85\times m\times 9/81\times 90/0}{1s}\Rightarrow m=2/66\times {{10}^{5}}kg$

حجم آبی که باید در هر ثانیه روی توربین ریخته شود برابر است با: 

$V=\frac{2/66\times {{10}^{5}}}{1/00\times {{10}^{3}}}=2/66\times {{10}^{2}}{{m}^{3}}$ حجم آب

شکل زیر طرح واره‌ای از درصد انرژی مفید و انرژی تلف شده در یک نیروگاه سوخت فسیلی یا هسته‌ای را از آغاز تا مصرف در یک لامپ رشته‌ای نشان می‌دهد.

الف) یک نیروگاه سوخت فسیلی را در نظر بگیرید که با مصرف گازوئیل، انرژی الکتریکی تولید می‌کند. با سوختن هر لیتر گازوئیل حدود 35 مگاژول انرژی گرمایی تولید می‌شود. برای اینکه یک لامپ رشته‌ای 100 واتی در طول یک ماه به مدت 180 ساعت روشن بماند (به طور میانگین هر شبانه روز 6 ساعت)، چقدر گازوئیل باید در نیروگاه مصرف شود؟
 مقدار انرژی لازم برای یک لامپ رشته ای 100 واتی 

$W=Pt=100W(180h)\times (3600\frac{s}{1h})=6/48\times {{10}^{7}}J$

انرژی مفیدی که با سوختن یک لیتر گازوئیل تأمین می‌شود برابر است با:

$\frac{95}{100}\times \frac{35}{100}\times 34/2\times {{10}^{6}}J/L$

به این ترتیب حجم گازوئیل موردنیاز برابر است با:

$V=\frac{6/48\times {{10}^{7}}J}{0/35\times 34/2\times {{10}^{6}}J/L}=5/41L$

ب) با توجه به نتیجه قسمت الف، درک خود از هشدار معروف «لامپ اضافی خاموش!» را بیان کنید.
پ) اگر در سراسر ایران، هر خانه در طول یک ماه، معادل انرژی الکتریکی مصرف شده در قسمت الف، صرفه جویی کند، مرتبهٔ بزرگی گازوئیل صرفه جویی شده را تخمین بزنید.

مدت زمانی را که طول می‌کشد تا با دویدن به بالای یک راه پله برسید اندازه بگیرید. آهنگ انجام این کار را محاسبه کنید. پاسخ خود را برحسب وات و اسب بخار بیان کنید.
برای این کار به کمک زمان سنج تلفن همراه، مدت زمان را اندازه گرفته و ارتفاع هر پله (y) را در تعداد آنها (n) ضرب می‌کنیم. بنابراین می‌توان نوشت $(h=ny)$:

$P=\frac{W}{\Delta t}=\frac{mgh}{\Delta t}$

1- تقریباً بیشتر شهاب سنگ‌هایی که وارد جوّ زمین می‌شوند به دلیل اصطکاک زیاد با ذرات تشکیل دهندهٔ جوّ، به دمای بالایی می‌رسند و می‌سوزند. شکل زیر شهاب سنگی به جرم $1/4\times {{10}^{5}}kg$ را نشان می‌دهد که با تندی $4/0km/s$ وارد جوّ زمین شده است.

انرژی جنبشی این شهاب سنگ را به دست آورید. این انرژی را با انرژی جنبشی یک هواپیمای مسافربری به جرم $7/2\times {{10}^{4}}kg$ که با تندی $250m/s$ در حرکت است مقایسه کنید.

انرژی جنبشی شهاب سنگ عبارت است از؛

${{K}_{1}}=?$   ،  $v=4/12\frac{km}{s}=4/12\times {{10}^{3}}\frac{m}{s}$  ،   $m=1/35\times {{10}^{5}}kg$

${{K}_{1}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\times 1/35\times {{10}^{5}}\times {{(4/12\times {{10}^{3}})}^{2}}$
$=\frac{1}{2}\times1/35\times{{10}^{5}}\times {{(4/12)}^{2}}\times{{10}^{6}}\approx 11/46\times {{10}^{11}}J  \to {{K}_{1}}=11/5\times {{10}^{11}}J$ 

انرژی جنبشی هواپیمای مسافربری برابر است با؛

${{K}_{2}}=?$  ،  $v=936\times \frac{10}{36}=260\frac{m}{s}$  ،  $m=7/25\times {{10}^{4}}kg$ ​​​​​​

${{K}_{2}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\times 7/25\times {{10}^{4}}\times {{(260)}^{2}}=245050\times {{10}^{4}}\approx 2/45\times {{10}^{9}}J\to {{K}_{2}}=0/0245\times {{10}^{11}}$

انرژی جنبشی شهاب سنگ تقریباً $\frac{{{K}_{1}}}{{{K}_{2}}}=\frac{11/5\times {{10}^{11}}}{0/0245\times {{10}^{11}}}\approx 469$ برابر انرژی جنبشی هواپیمای مسافربری است.

2- حدود 50000 سال پیش شهاب‌سنگی در نزدیک آریزونای آمریکا به زمین برخورد کرده و چاله‌ای بزرگ از خود به جای گذاشته است.

با اندازه گیری‌های جدید (2005 میلادی) برآورد شده است که جرم این شهاب سنگ حدود $1/40\times {{10}^{8}}kg$ بوده و با تندی 12/0km/s به زمین برخورد کرده است. انرژی جنبشی این شهاب سنگ هنگام برخورد به زمین چقدر بوده است؟ (خوب است بدانید انرژی آزاد شده توسط هر تُن TNT تقریباً برابر $4/2\times {{10}^{9}}kg$ است.)

$K=?$  ،  $v=12\frac{km}{s}=12\times {{10}^{3}}\frac{m}{s}$  ،  $m=1/4\times {{10}^{8}}kg$
$K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}\times1/4\times{{10}^{8}}\times{{(12\times{{10}^{3}})}^{2}}$
$=\frac{1}{2}\times1/4\times{{10}^{8}}\times{{12}^{2}}\times{{10}^{6}}=100/8\times{{10}^{14}}\to K=1/01\times {{10}^{16}}J$ 

3- در شکل‌های (الف) و (ب) جرم ارابه‌ها یکسان است. برای اینکه تندی ارابه‌ها از صفر به مقدار معین v برسد، کار انجام شده در هر دو حالت را باهم مقایسه کنید.

طبق قضیه کار و انرژی جنبشی ${W_t} = {K_2} - {K_1}$

کار انجام شده در قسمت الف: 

${{W}_{t1}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\to {{W}_{t1}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ 

کار انجام شده در قسمت ب: 

${{W}_{t2}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}(2m)v_{2}^{2}-\frac{1}{2}(2m)v_{1}^{2}=m{{v}^{2}}\to {{W}_{t2}}=m{{v}^{2}}$

کار انجام شده در قسمت (ب) دو برابر کار انجام شده در قسمت (الف) است. زیرا ${W_{t2}} = 2{W_{t1}}$

4- ورزشکاری سعی می‌کند توپ بیسبالی به جرم 150g را با بیشترین تندی ممکن پرتاب کند. به این منظور، ورزشکار نیرویی به بزرگی $F=75/0N$ تا لحظهٔ پرتاب توپ و در امتداد ($d = 1/5m$) جابه‌جایی بر آن وارد می‌کند.

 تندی توپ هنگام جدا شدن از دست ورزشکار چقدراست؟

${{v}_{2}}=?$ ${{v}_{1}}=0$ $d=1/45m$ $F=75N$ $m=145g=0/145kg$

طبق قضیه کار و انرژی جنبشی: ${{W}_{t}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}\to {{W}_{F}}+{{W}_{mg}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}$

نیروی وزن بر جابه‌جایی عمود است، بنابراین ${W_{mg}}=0$ و انرژی جنبشی اولیه توپ صفر است: ${K_1} = 0$

${{W}_{F}}+{{W}_{mg}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}\to {{W}_{F}}={{K}_{2}}\to {{F}_{d}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}$

$\to75\times 1/45=\frac{1}{2}\times 0/145\times v_{2}^{2}\to v_{2}^{2}=\frac{75\times 1/45}{0/5\times 0/145} $

$=1500\to {{v}_{2}}=\sqrt{1500}\simeq 38/7\frac{m}{s}\to {{v}_{2}}=38/7\frac{m}{s}$

5- آیا کار کل انجام شده بر یک جسم در یک جابه جایی می‌تواند منفی باشد؟ توضیح دهید.

بله، در حرکت های کند شونده، کار کل انجام شده بر روی جسم منفی می‌شود طبق قضیه کار و انرژی جنبشی اگر سرعت جسم کاهش یابد، انرژی جنبشی آن نیز کاهش یافته و مطابق رابطه Wt = K₂-K₁، کار کل نیروهای وارد بر جسم منفی می­‌شود.

6- برای آنکه نیروی خالصی، بتواند تندی جسم را از صفر به $v$ برساند باید مقدار کار $W$ را روی آن انجام دهد. اگر قرار باشد تندی این جسم از صفر به $3v$ برسد کاری که روی جسم باید انجام شود چند برابر $W$ است؟

طبق قضیه کار و انرژی جنبشی، کار نیروی خالص وارد بر جسم برابر است با تغییر انرژی جنبشی جسم.

$ \left. \begin{align}
  & {{v}_{1}}=0{{v}_{2}}=v{{W}_{1}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\to {{W}_{1}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}} \\ 
 & {{v}_{1}}=0{{v}_{2}}=3v{{W}_{2}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}m{{(3v)}^{2}}=\frac{9}{2}m{{v}^{2}} \\ 
\end{align} \right\}\to {{W}_{2}}=9{{W}_{1}}$

7- اگر مطابق شکل زیر سطلی را در دست نگه دارید، آیا نیروی دست شما هنگامی که با تندی ثابت در مسیر افقی قدم می‌زنید روی سطل کاری انجام می‌دهد؟ اگر تندی حرکت شما در طول مسیر کم و زیاد شود چطور؟ پاسخ خود را در هر مورد توضیح دهید.

به سطل، نیرویی برابر با وزن سطل و رو به بالا به وارد می‌کنیم. چون سطل با تندی ثابت حرکت می­‌کند، شخص نیرویی در جهت افقی به آن وارد نمی­‌کند. از طرفی زاویه بین نیروی F و جابه­‌جایی d، $90{}^\circ $ است. بنابراین؛

$W=Fd\cos \theta =Fd\cos 90{}^\circ =0$

اگر تندی متغیر باشد، شتاب و در نتیجه نیروی خالصی در راستای جابه‌جایی به سطل وارد خواهد شد. این نیرو روی سطل کار انجام می‌دهد. $W=Fd\cos \theta >0$ 

8- شخصی گلوله‌ای برفی به جرم 150g را از روی زمین بر می‌دارد و تا ارتفاع 180cm بالا می‌برد و سپس آن را با تندی 12m/s پرتاب می‌کند. کار انجام شده توسط شخص روی گلولهٔ برف چقدر است؟

$v=12/4m/s$ ,   $h=185cm=1/85m$  ,  $m=158g=0/158kg$  , $W=?$

طبق قضیه کار و انرژی جنبشی، مقدار کار انجام شده برابر تغییرات انرژی جنبشی است.

${{W}_{t}}=\Delta K={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=\frac{1}{2}\times 0/158\times {{(12/4)}^{2}}=12/1J$

کل کار برابر کار نیروی دست و نیروی وزن است. پس داریم؛

${{W}_{t}}={{W}_{mg}}+W\to W={{W}_{t}}-{{W}_{mg}}={{W}_{t}}-mgh\cos (180{}^\circ )=12/1-(-2/9)=15J$

9- ماهواره‌ها در مدارهای معین و با تندی ثابتی دور زمین می‌چرخند. حرکت یک ماهواره به دور زمین (شکل الف) را می‌توان مطابق شکل (ب) مدل سازی کرد. همان طور که دیده می‌شود نیروی خالصی (نیروی وزن) همواره بر ماهواره وارد می‌شود. چگونه امکان دارد با وجود وارد شدن این نیرو به ماهواره، انرژی جنبشی آن ثابت بماند؟

نیروی خالص وارد بر ماهواره عمود بر جهت جابه‌جایی است، پس کار کل ماهواره صفر است. از طرفی با توجه به قضیه کار و انرژی، ${{W}_{t}}=\Delta K$ ، تغییرات انرژی جنبشی نیز صفر است، پس انرژی جنبشی ماهواره و سرعت آن ثابت می‌ماند.

10- آیا انرژی جنبشی یک جسم می‌تواند منفی باشد؟ انرژی پتانسیل گرانشی یک سامانه چطور؟ توضیح دهید.

مطابق رابطۀ $K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$ انرژی جنبشی به جرم جسم (m) و مجذور سرعت (v²) بستگی دارد، چون هر دوی این عوامل کمیت‌های مثبتی هستند، بنابراین انرژی جنبشی جسم همواره مثبت است.
اگر مبدأ انرژی پتانسیل گرانشی را سطح زمین در نظر بگیریم، مطابق رابطۀ U=mgh انرژی پتانسیل گرانشی نیز به جرم جسم (m)، شتاب گرانشی (g) و ارتفاع (h) بستگی دارد. همه این عوامل مثبت هستند، بنابراین انرژی پتانسیل گرانشی یک سامانه نیز همواره مثبت است.

11- دو شخص هم جرم A و B به طبقهٔ سوم ساختمانی می روند. شخص A با آسان بَر (آسانسور) و شخص B به آرامی از پله‌های ساختمان بالا می‌روند. گزاره‌های درست را با ذکر دلیل مشخص کنید.

الف) در طبقه سوم، انرژی پتانسیل گرانشی (نسبت به زمین) شخص A  از شخص B کمتر است، زیرا آرام‌تر بالا رفته است.
نادرست، زیرا انرژی پتانسیل گرانشی یک جسم به جرم و ارتفاع جسم بستگی دارد و هر دو انرژی پتانسیل گرانشی برابری دارند.
ب) انرژی پتانسیل گرانشی (نسبت به زمین) شخص A کمتر از شخص B است، زیرا برای رسیدن به طبقهٔ سوم ساختمان مسافت کمتری پیموده است.
نادرست، زیرا انرژی پتانسیل گرانشی یک جسم به مسافت پیموده شده توسط جسم بستگی ندارد.
پ) کار نیروی وزن برای هر دو شخص در طول مسیر یکسان است.
درست، چون کار نیروی وزن در جابه‌جایی جسم رو به بالا برابر است با : ${{W}_{mg}}=mgh\cos 180{}^\circ =-mgh$ و از طرفی پارامترهای m، g و h در هر دو شخص یکسان هستند، بنابراین کار نیروی وزن در هر دو شخص برابر است.
ت) انرژی پتانسیل گرانشی هر دو شخص در طبقهٔ سوم ساختمان یکسان است.
درست، طبق رابطه‌ U=mgh چون m و g و h برای هر دو شخص برابر است، انرژی پتانسیل گرانشی هر دو شخص یکسان است.

12- شکل زیر هواپیمایی به جرم $7/2\times {{10}^{4}}kg$ را نشان می‌دهد که از حال سکون شروع به حرکت می‌کند و پس از 2050m جابه جایی در امتداد باند هواپیما، به تندی برخاستن ${{v}_{2}}=70m/s$ می‌رسد.

الف) کار کل نیروهای وارد بر هواپیما را در این جابه جایی حساب کنید.

${{W}_{t}}=?$  ،   ${{v}_{2}}254\times \frac{10}{36}=70/5\frac{m}{s}$  ،   $d=205m$  ،  ${{v}_{1}}=0$ $m=7/20\times {{10}^{4}}kg$
${{W}_{t}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}=\frac{1}{2}\times 7/2\times {{10}^{4}}\times {{(70/5)}^{2}}=17892/9\times {{10}^{4}}J\to {{W}_{t}}=17893\times {{10}^{4}}J=1/8\times {{10}^{8}}J$

ب) یک دقیقه پس از برخاستن، هواپیما تا ارتفاع 560m از سطح زمین اوج می‌گیرد و تندی آن 140m/s می‌رسد. در این مدت، کار نیروی وزن چقدر است؟

$w=?$ ،   $h=565m$ 
$W=-\Delta U=-({{U}_{2}}-{{U}_{1}})=-(mg{{h}_{2}}-mg{{h}_{1}})=-mg({{h}_{2}}-{{h}_{1}})=-mgh=-7/2\times {{10}^{4}}\times 10\times 565$
$=-40680\times {{10}^{4}}J\to W=-4\times {{10}^{8}}J$

پ) به جز نیروی وزن، چه نیروهای دیگری بر هواپیما اثر می‌کند (با این نیروها در علوم سال ششم آشنا شدید)؟ کار کدام یک از این نیروها مثبت و کار کدام یک از آنها منفی است؟ کار نیروی رانشی و نیروی بالابر مثبت و کار نیروی مقاومت هوا منفی است.

ت) کار کل نیروهای وارد بر هواپیما چقدر است؟

${{W}_{t}}=?$ ${{v}_{2}}=328\times \frac{10}{36}\simeq 91/1\frac{m}{s}$ ${{v}_{1}}=254\times \frac{10}{36}=70/5\frac{m}{s}$

$\begin{align}
  & {{W}_{t}}={{K}_{2}}-{{K}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=\frac{1}{2}m(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=\frac{1}{2}\times 7/2\times {{10}^{4}}\times {{(91/1)}^{2}}-{{(70/5)}^{2}} \\ 
 & =\frac{1}{2}\times 7/2\times {{10}^{4}}\times 3328/96=11984/25\times {{10}^{4}}J\to {{W}_{t}}=11984\times {{10}^{4}}J=1/2\times {{10}^{8}} \\ 
\end{align}$ 

ث) توان کل انجام کار توسط نیروهای غیر از وزن را بیابید.

وزن: Weight / غیر وزن: Not staying

$\begin{align}
  & {{W}_{t}}={{W}_{\text{Weight}}}+{{W}_{\text{Not staying}}}\to {{W}_{\text{Not staying}}}={{W}_{t}}-{{W}_{\text{Weight}}}=1/2\times {{10}^{8}}-(-4\times {{10}^{8}}) \\ 
 & =1/2\times {{10}^{8}}+4/0\times {{10}^{8}}\to W=5/2\times {{10}^{8}}J \\ 
\end{align}$ 
${{P}_{\text{Not staying}}}=\frac{{{W}_{\text{Not staying}}}}{\Delta t}=\frac{5/2\times {{10}^{8}}}{60}=8/6\times {{10}^{6}}=8/6MW$

13- در سه شکل زیر اجسامی از حالت سکون و ارتفاع h نسبت به سطح افق رها می‌شوند و نیروی اصطکاک و مقاومت هوا بر آنها وارد نمی‌شود. در کدام حالت، جسم

الف) بیشترین تندی را هنگام رسیدن به سطح افقی دارد؟ هر سه جسم با تندی یکسانی به سطح افقی می‌رسند.

در شکل اول: ${{E}_{1}}-{{E}_{2}}\to {{U}_{1}}+{{K}_{1}}={{U}_{2}}+{{K}_{2}}\to mg{{h}_{2}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}\to gh=\frac{{{v}^{2}}}{2}\to {{v}^{2}}=2gh\to v=\sqrt{2gh}$
در شکل دوم: ${{E}_{1}}-{{E}_{2}}\to {{U}_{1}}+{{K}_{1}}={{U}_{2}}+{{K}_{2}}\to (2m)gh=\frac{1}{2}(2m){{v}^{2}}\to {{v}^{2}}=2gh\to v=\sqrt{2gh}$
در شکل سوم: ${{E}_{1}}-{{E}_{2}}\to {{U}_{1}}+{{K}_{1}}={{U}_{2}}+{{K}_{2}}\to mgh=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\to {{v}^{2}}=2gh\to v=\sqrt{2gh}$

ب) تا هنگام رسیدن به پایین مسیر، بیشترین مقدار کار نیروی وزن روی آن انجام شده است؟

$W=-\Delta U=-(mg{{h}_{2}}-mg{{h}_{1}})=mgh$

کار نیروی وزن به جرم و ارتفاع جسم بستگی دارد. ارتفاع هر سه شکل برابر است و تنها جرم در شکل وسطی بیشتر است. بنابراین کار نیروی وزن آن بیشتر است.

14- در شکل روبه رو هواپیمایی که در ارتفاع 300m از سطح زمین و با تندی 50m/s پرواز می کند، بسته‌ای را برای کمک به آسیب دیدگان زلزله رها می‌کند. تندی بسته هنگام برخورد به زمین چقدر است؟ (از تأثیر مقاومت هوا روی حرکت بسته چشم پوشی کنید.)

${{v}_{2}}=?$  ،  ${{h}_{2}}=0$  ،  ${{v}_{1}}=198\frac{km}{h}\times \frac{10}{36}=55\frac{m}{s}$   ،   ${{h}_{1}}=225m$ 

با صرف نظر از نیروی مقاومت هوا در طول مسیر، انرژی مکانیکی اولیه و نهایی بسته برابر است:

$\begin{align}
&{{E}_{1}}={{E}_{2}}\to{{K}_{1}}+{{U}_{1}}={{K}_{2}}+{{U}_{2}}\to\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+mg{{h}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}\to\frac{1}{2}v_{1}^{2}+g{{h}_{1}}=\frac{1}{2}v_{2}^{2}\to\frac{1}{2}{{(55)}^{2}}+10\times 225=\frac{1}{2}v_{2}^{2} \\ 
 & \to 1512/5+2250=0/5v_{2}^{2}\to 3762=0/5v_{2}^{2}\to v_{2}^{2}=\frac{3762/5}{0/5}=7525\to {{v}_{2}}=\sqrt{7525}\approx 86/7\frac{m}{s} \\ 
\end{align}$

15- موتورسواری از انتهای سکویی مطابق شکل روبه رو، پرشی را با تندی 35/0m/s انجام می‌دهد. اگر تندی موتورسوار در بالاترین نقطهٔ مسیرش به 32/0m/s برسد، ارتفاع h را پیدا کنید. اصطکاک و مقاومت هوا را در طول مسیر حرکت موتورسوار نادیده بگیرید.

${{h}_{2}}=h=?$ ${{v}_{2}}=32\frac{m}{s}$ ${{v}_{1}}=35\frac{m}{s}$
$\begin{align}
& {{E}_{1}}={{E}_{2}}\to {{K}_{1}}+{{U}_{1}}={{K}_{2}}+{{U}_{2}}\to \frac{1}{2}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}v_{2}^{2}=gh\to \frac{1}{2}v_{1}^{2}=\frac{1}{2}v_{2}^{2}+gh\to \frac{1}{2}\times {{(35)}^{2}}=\frac{1}{2}\times {{(32)}^{2}} \\ 
 & +10\times h\to 612/5=512+10\times h\to h=\frac{100/5}{10}\approx 10/2m \\ 
\end{align}$

16- سه توپ مشابه، از بالای ساختمانی با تندی یکسانی پرتاب می‌شوند.

توپ (1) در امتداد افق، توپ (2) با زاویه ای بالاتر از امتداد افق و توپ (3) با زاویه ای پایین‌تر از امتداد افق پرتاب می‌شود. با نادیده گرفتن مقاومت هوا، انرژی جنبشی توپ‌ها را هنگام برخورد با سطح زمین، با یکدیگر مقایسه کنید.

انرژی پتانسیل گرانشی توپ ها به دلیل یکسان بودن جرم و  مبدأ پرتاب با هم برابر است. انرژی جنبشی آنها نیز به دلیل یکسان بودن جرم و سرعت اولیه با هم برابر است.

${E_1} = {E_2} = {E_3}$

با نادیده گرفتن مقاومت هوا، انرژی‌های مکانیکی اولیه و نهایی هر یک از توپ‌ها برابر است. در زمان برخورد به زمین انرژی پتانسیل توپ‌ها صفر است و فقط انرژی جنبشی دارند. پس انرژی جنبشی توپ‌ها هنگام برخورد با زمین با یکدیگر برابر است.

17- گلوله‌ای به جرم 50g از دهانهٔ تفنگی با تندی 1/5m/s و ارتفاع 1/6m از سطح زمین شلیک می‌شود. اگر گلوله با تندی 0/45km/s  به زمین برخورد کند،

الف) در مدت حرکت گلوله کار نیروی مقاومت هوا چقدر است؟

${{h}_{1}}=1/62m$ ${{v}_{1}}=1/22\frac{km}{s}=1/22\times {{10}^{3}}\frac{m}{s}=1220\frac{m}{s}$ $m=45g=0/045kg$
${{W}_{f}}=?$ $g=10\frac{N}{kg}$ ${{h}_{2}}=0$ ${{v}_{2}}0/425\frac{km}{s}=0/425\times {{10}^{3}}\frac{m}{s}=425\frac{m}{s}$

کار نیروهای مقاوم برابر است با تغییر انرژی مکانیکی جسم. یعنی؛ ${W_f} = {E_2} - {E_1}$

${{E}_{1}}={{K}_{1}}+{{U}_{1}}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}=mg{{h}_{1}}=\frac{1}{2}\times 0/045\times {{(1220)}^{2}}+0/045\times 10\times 1/62=33489+0/729\to {{E}_{1}}=33490J$
${{E}_{2}}={{K}_{2}}+{{U}_{2}}=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}=mg{{h}_{2}}=\frac{1}{2}\times 0/045\times {{(425)}^{2}}=4064J\to {{E}_{2}}=4064J$
${{W}_{f}}={{E}_{2}}-{{E}_{1}}=4064-33490=-29426J\to {{W}_{f}}=-2/94\times {{10}^{4}}J$

ب) مقدار به دست آمده در قسمت (الف) را با کار نیروی وزن مقایسه کنید.

$W=mgh=0/045\times 10\times 1/62=0/729J\to W=0/729J$

کار نیروی وزن در این حرکت بسیار ناچیز و قابل صرف نظر است.

18- جسمی به جرم $m = 12kg$ در نقطهٔ A از حالت سکون رها می‌شود و در مسیری بدون اصطکاک سُر می‌خورد (شکل زیر). تعیین کنید:

الف) تندی جسم را در نقطهٔ B

$g=10\frac{m}{{{s}^{2}}}$ ${{v}_{B}}=?$ ${{h}_{B}}=3/2m$ ${{h}_{A}}=5m$ ${{v}_{A}}=0$ $m=12/5kg$
$\begin{align}
  & {{E}_{A}}={{E}_{B}}\to {{U}_{A}}+{{K}_{A}}={{U}_{B}}+{{K}_{B}}\to mg{{h}_{A}}=mg{{h}_{B}}+\frac{1}{2}mv_{B}^{2}\to 10\times 5=10\times 3/2+\frac{v_{B}^{2}}{2}\to 50-32 \\ 
 & =\frac{v_{B}^{2}}{2}\to v_{B}^{2}=36\to {{v}_{B}}=6\frac{m}{s} \\ 
\end{align}$ 

ب) کار نیروی گرانشی را در حرکت جسم از نقطهٔ A  تا نقطهٔ C.

$W=-\Delta U=-({{U}_{C}}-{{U}_{A)}}=-(mg{{h}_{C}}-mg{{h}_{A}})=-mg({{h}_{C}}-{{h}_{A}})=-12/5\times 10\times (2-5)=375J$

19- شکل زیر گلوله‌ای را نشان می‌دهد که از سقف کلاسی آویزان شده و دانش آموزی آن را از وضعیت تعادل خارج کرده و در برابر نوک بینی خود گرفته است.

الف) وقتی دانش آموز گلوله را رها می‌کند هنگام برگشت به او برخورد نمی‌کند. چرا؟ (این تجربهٔ ساده ولی هیجان انگیز را درصورت امکان در کلاستان انجام دهید.)
بخشی از انرژی مکانیکی اولیه گلوله در طول مسیر رفت و برگشت به دلیل مقاومت هوا تلف می‌شود. بنابراین انرژی مکانیکی گلوله در مسیر برگشت کاهش یافته و تا ارتفاع کمتری بالا می‌آید.

ب) اگر دانش آموز هنگام رها کردن گلوله، آن را هُل دهد، هنگام برگشت آن، چه اتفاقی می‌افتد؟
در این حالت به دلیل اضافه شده مقداری نرژی جنبشی اولیه، کل انرژی مکانیکی اولیه گلوله نسبت به حالت قبل افزایش می‌یابد و گلوله می‌تواند در مسیر برگشت تا ارتفاع اولیه و حتی بیشتر از آن نیز بالا بیاید.

20- بالابری با تندی ثابت، باری به جرم 650kg را در مدت 3 دقیقه تا ارتفاع 75m بالا می‌برد. اگر جرم بالابر 320kg باشد، توان متوسط موتور آن چند وات و چند اسب بخار است؟

$g=10\frac{N}{kg}$  ،  $h=78/4m$  ،   $\Delta t=186s$   ،  $m=68+32=100kg$ 

کار انجام شده توسط آسانسور برابر است با تغییر انرژی پتانسیل گرانشی:

$W=mgh=1000\times 10\times 78/4=78/4\times {{10}^{4}}J$
$\overline{P}=\frac{W}{\Delta t}=\frac{78/4\times {{10}^{4}}}{186}=4215W\to \overline{P}=4215\div 746=5/65hp$ 

21- شخصی به جرم 72kg، در مدت زمان 90s از تعداد 50 پله بالا می‌رود. توان متوسط مفید او چند وات است؟ ارتفاع هرپله را 30cm فرض کنید.

$g=10\frac{N}{kg}$ $h=50\times 28/5=1425cm=14/25m$ $\Delta t=84s$ $m=78/5kg$ 

کار مفید انجام شده توسط شخص برابر است با تغییر انرژی پتانسیل گرانشی شخص:

$W=mgh=78/5\times 10\times 14/25=11186/25J$
$\overline{P}=\frac{W}{\Delta t}=\frac{11186/25}{84}=133W\to \overline{P}=133W$ 

22- سالانه نزدیک به 125 میلیارد لیتر مواد و فراورده‌های نفتی از طریق حدود 14000km خطوط لوله در نقاط مختلف کشور توزیع می‌شود. این خطوط در طول مسیر خود از مراکز انتقال متعددی می‌گذرند تا توان لازم را برای ادامهٔ راه به دست آورند. شکل زیر یکی از این مراکز را نشان می‌دهد که در ارتفاع 2050m از سطح دریای آزاد قرار دارد. در این مرکز، در هر ثانیه یک متر مکعب مواد نفتی از طریق لوله‌ای با قطر 3/20 اینچ (81/2cm) توسط دو دستگاه پمپ (تلمبه) تا ارتفاع 2700m از سطح دریای آزاد فرستاده می‌شود. اگر بازده هر یک از پمپ‌های این مرکز حدود 28 درصد باشد توان هر یک از آنها بر حسب مگاوات (MW) و اسب بخار (hp) چقدر است؟ (چگالی مواد نفتی را 860kg/m بگیرید.)

$P=?$  ، $p=8/60\times {{10}^{2}}\frac{kg}{{{m}^{3}}}$ ، $Ra=\frac{28}{100}=0/28$  ،  ${{h}_{2}}=2/70\times {{10}^{3}}m$  ،   ${{h}_{1}}=2/05\times {{10}^{3}}m$
$p=\frac{m}{V}\to m=pV=8/6\times {{10}^{2}}\times 1=8/6\times {{10}^{2}}kg$

$\begin{align}
  & W=\Delta U={{U}_{2}}-{{U}_{1}}=mg{{h}_{2}}-mg{{h}_{1}}=mg({{h}_{2}}-{{h}_{1}})=8/6\times {{10}^{2}}\times 10\times (2/7\times {{10}^{3}}-2/05\times {{10}^{3}}) \\ 
 & =8/6\times {{10}^{3}}\times 0/65\times {{10}^{3}}=5/59\times {{10}^{6}}J\Rightarrow W=E=5/59\times {{10}^{6}}J \\ 
\end{align}$ 

W خروجی برابر E خروجی برابر $5/59\times {{10}^{6}}J$ است.

$Ra=\frac{{{E}_{\text{output}}}}{{{E}_{\text{intput}}}}\to {{E}_{\text{intput}}}=\frac{{{E}_{\text{output}}}}{Ra}=\frac{5/59\times {{10}^{6}}}{0/28}=19/9\times {{10}^{6}}J$
$P=\frac{E}{t}=\frac{19/9\times {{10}^{6}}}{1}=19/9\times {{10}^{6}}W$

$:\frac{19/9\times {{10}^{6}}}{2}=9/95\times {{10}^{6}}W\to 9/95\times {{10}^{6}}\div 746=1/33\times {{10}^{4}}hp$ توان هر پمپ